JEE MAIN

<div><div><li> <p>A balloon and its content having mass M is moving up with an acceleration a. The mass that must be released from the content so that the balloon starts moving up with an acceleration 3a will be: (Take acceleration due to gravity as g)</p> </li></div><p> (1) 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mfrac> 
    <mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
    </mrow> 
   </mfrac> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{3Ma}{2a + g} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>(2) 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mfrac> 
    <mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
    </mrow> 
   </mfrac> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{3Ma}{2a - g} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>(3) 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mfrac> 
    <mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
    </mrow> 
   </mfrac> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{2Ma}{3a + g} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>(4) 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mfrac> 
    <mrow> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
    </mrow> 
   </mfrac> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{2Ma}{3a - g} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p></div>

<div><p>Let up-thrust force on the balloon be 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     F 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p>Initially:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      F 
    </mi> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F - Mg = Ma 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      F 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F = M(g + a) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Let mass 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mi>
     m 
   </mi> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> is released and acceleration is 3a upwards</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      F 
    </mi> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mn>
      3 
    </mn> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F - (M - m)g = (M - m)3a 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mn>
      3 
    </mn> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     M(g + a) - (M - m)g = (M - m)3a 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mo>
      + 
    </mo> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mn>
      3 
    </mn> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Ma + mg = (M - m)3a 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mi>
       a 
     </mi> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      2 
    </mn> 
    <mi>
      M 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m(g + 3a) = 2Ma 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        a 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mi>
        g 
      </mi> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <mi>
        a 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m = \frac{2Ma}{g + 3a} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p> <img src="http://test-master-question-data.s3.ap-south-1.amazonaws.com/questionImg/324c27a7-d6cb-4c62-a623-02d6b275c93f.jpg" style="width:1.63414in;height:0.76709in" alt=""> </p></div>

<div><div><li> <p>A car of mass m moves on a banked road having radius r and banking angle θ. To avoid slipping from banked road, the maximum permissible speed of the car is v<sub>0</sub>. The coefficient of friction μ between the wheels of the car and the banked road is:</p> </li></div></div>

<div><p>Given banking angle θ and radius</p><p>Let N be the normal force</p><p> <img src="http://test-master-question-data.s3.ap-south-1.amazonaws.com/questionImg/d65728cd-6416-4005-98ac-23b4d28fed75.jpg" style="width:1.56884in;height:0.9564in" alt=""> </p><p style="text-align:left;">Necessary centripetal force:<br> forces along y-dir: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mrow> 
     <mi>
       N 
     </mi> 
     <mi>
       s 
     </mi> 
     <mi>
       i 
     </mi> 
     <mi>
       n 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mi>
      θ 
    </mi> 
    <mo>
      + 
    </mo> 
    <mi>
      μ 
    </mi> 
    <mrow> 
     <mi>
       N 
     </mi> 
     <mi>
       c 
     </mi> 
     <mi>
       o 
     </mi> 
     <mi>
       s 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mi>
      θ 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msubsup> 
      <mrow> 
       <mi>
         m 
       </mi> 
       <mi>
         v 
       </mi> 
      </mrow> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     {Nsin}\theta + \mu{Ncos}\theta = \frac{{mv}_{0}^{2}}{r} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
    <mi>
      c 
    </mi> 
    <mi>
      o 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      θ 
    </mi> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mi>
      μ 
    </mi> 
    <mi>
      N 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      i 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mi>
      θ 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      g 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     Ncos\theta - \mu Nsin\theta = mg 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;">from (i) and (ii)<br> 
 <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mrow> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mo>
       sin 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
     <mo>
       + 
     </mo> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mi>
       μ 
     </mi> 
     <mo>
       cos 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
     <mo>
       = 
     </mo> 
     <msubsup> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <mo>
       cos 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <msubsup> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <mi>
       μ 
     </mi> 
     <mo>
       sin 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
    </mrow> 
    <mrow> 
     <mi>
       μ 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mi>
        r 
      </mi> 
      <mi>
        g 
      </mi> 
      <mo>
        cos 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <msubsup> 
       <mi>
         v 
       </mi> 
       <mn>
         0 
       </mn> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msubsup> 
      <mo>
        sin 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mo>
       = 
     </mo> 
     <msubsup> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <mo>
       cos 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
     <mo>
       − 
     </mo> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
     <mi>
       g 
     </mi> 
     <mo>
       sin 
     </mo> 
     <mi>
       θ 
     </mi> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     {rg\sin\theta + rg\mu\cos\theta = v_{0}^{2}\cos\theta - v_{0}^{2}\mu\sin\theta }{\mu\left( rg\cos\theta + v_{0}^{2}\sin\theta \right) = v_{0}^{2}\cos\theta - rg\sin\theta} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mo>
        sin 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <mi>
        μ 
      </mi> 
      <mo>
        cos 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mo>
        cos 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mi>
        μ 
      </mi> 
      <mo>
        sin 
      </mo> 
      <mi>
        θ 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <msubsup> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mn>
        0 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msubsup> 
     <mrow> 
      <mi>
        r 
      </mi> 
      <mi>
        g 
      </mi> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\sin\theta + \mu\cos\theta}{\cos\theta - \mu\sin\theta} = \frac{v_{0}^{2}}{rg} 
   </annotation> 
  </semantics> 
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 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow></mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex"></annotation> 
  </semantics> 
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